Chtelo by to vysvetlit co to znamena, ze jedno nekonecno je vetsi nez druhe nekonecno.
Predstavte si ohradku s ovcema. Jsou tam ovce bile a cerne. Ovcak chce spocitat, kterych ma vice.
Ma nekolik moznoati.
Ta asi nejjednodusi je ta, ze spocita cerne a spocita bile a kterych je vic, tak tech je vic.
Problem ale nastane, kdyz je ovci nekonecno. Co bysme mu poradili?
Jedna z mnoha moznosti, jak porovnat 2 nekonecna je ta, ze se ovce k sobe privazou. K jedne cerne privazeme jednu bilou. Takto privazeme k sobe vsechny a kdyz se nam to povede, tak je ovci stejne. Kdyz se nam to nepovede muzou nastat 2 situace cernych bud vice, nebo bilych je vice. Abychom to rozhodli, skusime k bile privazovat i vic cernych. Jestlize se nam podari ke kazde bile ovci privazad alespon jednu cernou, tak je vic bilich.
Takze priklad:
Je vice vsech prirozenych cisel (0, 1, 2, 3, 4.......) nez prirozenych sudych (0, 2, 4, 6, 8, 10....)?
Odpoved je, ze je jich stejne. Muzeme totiz vazat kazde x s 2x. 0-0, 1-2, 2-4..... Takze sme vsechny posvazovali.
Muze byt jedno nekonecno vetsi nez jine?
Ano.
Napriklad mnozina vsech podmnozin.
Priklad: {0, 1, 2} je mnozina A.
Mnozina vsech podmnozin P(A)={{}, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}
Kdyz vezmeme mnozinu vsech prirozenych cisel a mnozinu vsech jejich podmnozin, nedokazeme je spojit!
Proc?
Predstavme si, ze to jde. Mame tedy zobrazeni f:X-P(X), vezmeme Y={x|x je prvkem f(x)}
predpokladejme, ze existuje z je prvkem takove, ze f(x)=Y. Potom ale z je prvkem Y implikuje
z neni prvkem Y.
Ten dukaz vymyslel pan cook a lepe ho pochopite ze skript teorie mnozin:
ftp://www.math.muni.cz/pub/math/people/Rosicky/lectures/tma.ps
Mimo jine takhle nemuzete spojit treba realna cisla s celimi. Take se z toho da odvodit, ze
existuje problem ktery nelze resit na pocitaci. - kazdy program se da vyjadrit v konecnem
zapisu 1 a 0, to dava prirozene cislo. Kazdy problem je vlastne mnozina retezcu 0 a 1, resp
prirozenych cisel. (priklad: program ktery overi jestli je cislo sude - problem je mnozina
sudych cisel, program overuje prislusnost do mnoziny sudych cisel, program udava mnozinu).
No a protoze je pocet vsech programu tolik jako prirozenych cisel a pocet vsech problemu
je tolik jako podmnozin prirozenych cisel (jako realnych cisel), neni mozne je pospojovat.
Problemu je daleko vic nez programu! To jen tak pro zajimavost...
Jinak samozrejme se daji nekonecna porovnavat i jinak. Je-li ta nekonecna mnozina usporadana
je nekonecno+1 nez 1 + nekonecno protoze 1+nekonecno nema nejvetsi prvek, kdezto nekonecno +1 ho ma.
Je to ta 1cka co ste pridali na konec... resp. (0, 1, 2, 3, 4, ......, nova jednicka)
kdezto (nova jednicka, 0, 1, 2, 4, .....) nema nejvetsi prvek.
Otazka je dost nejednoznacna a doporucuju si precist ty skripta )