Pane Tronnere, děkuji za (jako vždy) fantastické dílo! Ač matfyzák, nikdy mne nenapadlo si o Euklidovi něco zkusit sehnat a přečíst, a to jsem jeho jméno slýchával dost často. A navíc jsem se dozvěděl, že pergamen je novějšího data než papyrus, a já si doteď myslel opak (pletl jsem se však, viz příp. wikipedie). Ještě jednou velikánské díky!
Na tom snímku té středověké knihy v latině je celkem zajímavé, že na úvodní stránce jsou nahoře jak římské číslice XV. , tak i dole arabskými číslicemi asi rok 1573. I ten latinsky psaný EVCLIDIS vlastně obsahuje kromě počátečního a konečného písmene samé římské číslovky, tedy E-5-100-50-1-500-1-S, tj. v součtu E657S. 😉Jaké číslice původně při zápisu výpočtů asi používali - římské nebo arabské?
Původně? V Alexandrii? Řecká. Tedy abecední, tedy vlastně alfabetický zápis podobný římským číslům, jen jich měli víc. Římané měli číslice 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000, zbytek řešili skládáním a pozicí číslice (IV jako 4 a VI jako 6), Řekové používali pro zápis svou alfabetu jinak - alfa = 1, beta = 2, gama = 3 atd., pak ióta = 10, kappa = 20... Přičemž je zvláštní, že až někdy do 6. století před naším letopočtem, kdy už měli matematiku na solidní úrovni, nepovažovali 1 za číslo. Jedna bylo vyjádření existence, až dva bylo vyjádření množství. Teprve Pythagoras tenhle náhled na čísla změnil. Nicméně na nulu stejně zapomněli. Nula si na svůj objev musela ještě počkat.
Taková poznámka k textu - je zmíněn Euklidův žák. Příběh se tam trochu ztrácí v překladu, což je škoda, protože je elegantní stejně jako Euklidova geometrie.Dle pověsti se jednou Euklidův žák se zeptal, co tím učením získá. Euklides nechal tomuto žákovi vyplatit tři oboly (obolus - drobná stříbrná mince), když chtěl mít žák z učení zisk, a vyhnal ho ze školy. K tomu dlužno dodat, že ti, kdo s Euklidem zůstali a stali se pracovníky Múseia, měli zdarma byt a stravu a k tomu dostávali velmi štědrý plat od Ptolemaia. Ptolemaios na tom na konec sám velmi vydělal - do Alexandrie se sjížděli lidé z celého tehdejšího světa a pochopitelně tam mohutně utráceli. Alexandrijská knihovna byla díky geniální podpoře Ptolemaia jedním z divů světa. Už tehdy bylo užitečné podporovat inteligenci - zbohatlo díky tomu celé město.
Safriš tak jak je to s tím součtem úhlů trojúhelníku, když ne 180° ? Nemam rad, když někdo začne téma a nedpoví3-[ navíc, když jde o tak dobré čtení.
Řekl bych, že to jde už hodně mimo záběr článku, a navíc to nebude snadné rozumně kategorizovat. Na kouli bude součet úhlů vždy víc než 180 stupňů, na hyperboloidní ploše zase méně, jenže s troškou snahy můžeme udělat plochu, která bude "pravidelně nepravidelná", řekněme třeba takový povrch vlnitého plechu, a tam nejde říct o součtu úhlů nic konkrétního bez znalosti umístění toho trojúhelníku... Ale nejsem expert na neeuklidovské prostory, wikipedie v tomhle bude určitě užitečnější než já🙂...
Jen poznámka - vlnitý plech je kupodivu euklidovský a trojúhleníky tam budou fungovat úplně normálně. Dá se to snadno představit roztažením dalé plochy na čistou rovinu - nikde nic nebude přebývat nebo chybět jako u pokusu roztáhnout na rovinu plochu koule (bude jí málo).Ale taková rovina ve stylu plata na vejce by mohla být matematicky opravdu chuťovka. ;)
"Ten pátý totiž jinými slovy říká, že dvě rovnoběžky se nikdy neprotnou (respektive se protnou v nekonečnu), což sice platí na rovině, ale každý si jistě dokáže představit, že na kouli ne."Tak tohle si teda predstavit "nedokazu". Neni tam chyba? Podle me se rovnobezky na (Zeme)kouli neprotinaji. No a kdyz teda opustime selsky rozum a budeme se pohybovat v matematickych definicich, tak na kouli neexistuji rovnobezky(ty cary, ktere mame na globusu vlastne nejsou primky, ale krivky). I tak je ale to tvrzeni na konci clanku nesmyslne a stalo by za to ho preformulovat.
Podstatné je to "na kouli", tedy nejedná se o geometrii v klasické rovině, ale na povrchu koule. Taková geometrie má pak právě svá specifika - rovnoběžky se mohou protnout (poledníky protínající se na pólech), součet úhlů v trojúhelníku není 180° (vezměte dva poledníky svírající pravý úhel a třetí úsečkou pak bude rovník - máte tři pravé úhly v trojúhelníku), ale v případě koule je vždy větší, naopak v případě geometrii na povrchu sedla je součet úhlů v trojúhelníku menší.Neeuklidovská geometrie je velmi důležitá, mimo jiné pro použití na reálných tělesech. Také se pomocí platnosti (či naopak neplatnosti) euklidových pravidel dá ověřit, zda se nejedná o zakřivený prostor. To jako pozorovatel uvnitř tohoto prostoru nemusíte být vůbec schopen zjistit (ale k tomu bych doporučil třeba knihu Pan Tompkins v říši divů - tam jsou podobné věci vysvětleny populární formou, tady by to zabralo neúměrně mnoho místa).
A proc si neprectes, co jsem napsal? To tvrzeni nedava smysl, protoze na kouli "rovnobezky" neexistuji. Kdyby existovaly, tak by vsechny primky byly navzajem rovnobezne.
Prosím, nastuduj si ty pojmy. Opravdu se šíleně mýlíš. Neeuklidovská geometrie je nerovinná geometrie. Není v rovině! Znovu opakuju - není v rovině. Je to geometrie na povrchu těles a k tomuto povrchu se vše váže. A pokud ti to stále není jasné - není to v rovině, je to na povrchu těles.
Zkusi si me prispevky precist znovu a vychazet z predpokladu, ze rozumim zakladum neeukleidovskych geometrii. Na kouli rovnobezky neexistuji, proto ta veta na konci clanku nedava smysl. Mozna te mate pojem "rovnobezka", pod kterou si predstavis krivku, ktera je ekvidistantou k hlavni kruznici, ale nejedna se o primku!
Já jsem je četl velmi pozorně, právě proto odpovídám a vysvětluji. To, co tvrdíš, je prostě nesmysl. Principem neeukleidovské geometrie jsou právě ty "jinak fungující přímky a rovnoběžky". Bez pochopení těchto principů nemůžeš tvrdit, že rozumíš základům neeukleidovské geometrie. A opakovaně dokazuješ, že těm principům nerozumíš.Původně se celé generace vědců domnívaly, že pátý Euklidův postulát je v podstatě zbytečný, že vychází z předchozích čtyř. Až N. I. Lobačevskij v roce 1826 dokázal, že se jedná o další postulát, který celkově definuje eukleidovskou geometrii. Lze postulovat (definovat) jinou rovinu, kde pátý postulát nebude fungovat a jako příklad uvedl geometrii hyperbolickou a později k tomu přibyla sférická geometrie. Význam této práce byl doceněn až mnohem později, kdy ji Einstein zobecnil při definici zakřiveného prostoru v rámci teorie relativity.Je potřeba si uvědomit, že rovina i plochy v rámci neeukleidovské geometrie jsou myšlenkový idealizovaný konstrukt a jako s takovými s nimi pracovat. V reálném prostoru nemusí taková ideální pravidla nutně platit, ale dávají nám matematický model, který realitu popisuje s větší či menší odchylkou. Vezmu to na prvních dvou Euklidových postulátech:1. každé dva body v rovině mohu spojit; nejkratší možná spojnice těchto dvou bodů je úsečka2. libovolnou úsečku mohu prodloužit v přímém směru na obou koncích (přímka)Zastavím se nejdříve u prvního bodu. Jak vlastně zjistím, že mám nejkratší možnou vzdálenost mezi dvěma body? Mohu tu vzdálenost změřit. Je celkem jedno, co k měření použiju - kousek provázku, vyskládaná dřívka, pravítko, světelný paprsek, vše v dané rovině mi dá stejný výsledek, najdu nejkratší možnou spojnici, tj. úsečku. Samotná vzdálenost je vlastnost odehrávající se jen a pouze v té rovině, jakýkoli nástroj musí opět fungovat jen a pouze v dané rovině.Lobačevskij proto zkusil myšlenkový konstrukt - co se stane, pokud definuji rovinu jako zakřivené těleso? Jako hyperbolický útvar? Jakýkoli nástroj, jakékoli měření se i nadále bude odehrávat výhradně v této rovině a tedy úsečka v dané rovině bude plně splňovat první Euklidův postulát. Bude to nejkratší spojnice dvou bodů v definované (!) rovině. Stejně tak tam budou platit i další postuláty - mohu zkonstruovat přímku jdoucí do nekonečna, mohu zkonstruovat kružnici se středem v jednom bodě (3. postulát) i pravé úhly si jsou rovny (4. postulát). Mám rovinu, kde platí čtyři první postuláty, ale už tam neplatí postulát pátý! Lobačevskij tímto dokázal, že pátý postulát nevychází z prvních čtyř. To je to, oč se Lobačevskij snažil. Jednalo se mu pouze o matematický důkaz, že pátý postulát není důsledek prvních čtyř.Důležitost tohoto objevu si uvědomili později až jiní a vznikla celá neeukleidovská geometrie, která se začala zabývat geometrií zakřivené roviny. K hyperbolickému zakřivení přibylo i zakřivení sférické. Jak důležité to je, ukázal Albert Einstein, který svou Teorií relativity ukázal, že celý náš prostor je zakřivený. To je ten zásadní výsledek objevu neeukleidovské geometrie.A k čemu ta neeukleidovská geometrie je? Běžně se uvádí užitečnost geometrie kulové plochy, tj. geometrie zemského povrchu. Má to ale mnohem zásadnější důsledky. U kulové plochy si zakřivení uvědomujeme, protože přímo vidíme její zakřivení ve třetím rozměru. Co ale zakřivení prostoru jako takového?O pár odstavců výš jsem psal o měření v rámci roviny. Jsme ve stejné situaci v prostoru - chceme mít jistotu, že máme úsečku, tedy změříme, že se jedná o nejkratší možnou spojnici v prostoru. A měření (provázkem, klacíky, pravítkem či světlem) nám dá jasnou a konkrétní odpověď, zda daná spojnice opravdu nejkratší je. Zejména u světla, protože světlo se skutečně tou nejkratší možnou cestou v prostoru pohybuje. Zdůrazňuju to nejkratší možnou cestou v prostoru... Tohle byl nezpochybnitelný předpoklad a z praktického hlediska platí i nadále, nicméně nyní už víme, že prostor je na mnoha místech zakřivený a ta nejkratší možná spojnice je v prostoru celkem zajímavá křivka. Tohle dokázal právě Albert Einstein svou Teorií relativity, kde mimo jiné zobecnil principy neeukleidovské geometrie a ukázal zakřivení prostoru díky gravitaci. Dal nám matematický aparát pro důkaz toho, zda prostor (či jakákoli rovina či úsečka) je zakřiven. A díky tomuto aparátu bylo možné předpovědět některé viditelné důkazy zakřivení (gravitační čočky), v jiných případech pak zůstává důkazem jen a pouze matematika a principy neeukleidovské geometrie.Čili znovu na začátek. Neeukleidovská geometrie ukazuje chování v zakřivené rovině, na ploše imaginárního tělesa. Jakýkoli výkřik, že přímka tam přece není přímka, je prostě nesmyslný a je to důkazem nepochopení celé věci. Přímka je tam přímka, protože vyhovuje definici přímky v této konkrétní zakřivené rovině.
Opet dokazujes se zcela ignorujes to co pisu. Tvuj citat: "Jakýkoli výkřik, že přímka tam přece není přímka, je prostě nesmyslný"Prosim rekni mi, ve kterem prispevku jsem neco takoveho napsal. Ja jen tvrdim, ze nasledujici veta nedava smysl: "Ten pátý totiž jinými slovy říká, že dvě rovnoběžky se nikdy neprotnou (respektive se protnou v nekonečnu), což sice platí na rovině, ale každý si jistě dokáže představit, že na kouli ne."a to z toho prosteho duvodu, ze na kouli nejsou rovnobezky(pokud ignorujeme dve primky, ktere lezi na sobe). Nebo snad tvrdis opak? Zkusim ti tu vetu prevest do podobneho tvrzeni, na kterem budu ilustrovat s cim mam problem:"Prezident muze udelovat milost, ale kazdy si jiste dokaze predstavit(wtf?), ze to neplati pro britskeho prezidenta"Technicky vzato je to pravda, ale ne z toho duvodu ze by britsky prezident tu pravomoc nemel, ale protoze britsky prezident neexistuje. Je to zavadejici a matouci tvrzeni. No a taky mam problem s tim "kazdy si jiste dokaze predstavit". Protoze ta situace se celkem komplikuje tim, ze ten "kazdy" podle me nebude vedet, ze primky na kouli jsou jen hlavni kruznice, protoze kdyz se mluvi o rovnobezkach na kouli, tak se tomu "kazdemu" dost mozna vybavi prave zemepisne rovnobezky, ktere nejsou primkami. Tak misto psani dalsiho traktatu zkus konecne pochopit co pisu.
Ale já tě moc dobře chápu. Tobě se nelíbí formulace, kterou autor použil. Použil tam zkratku, nezabýval se detailním vysvětlováním principů neeukleidovské geometrie, které se probírají někdy na začátku gymnázia. Inteligentní čtenář, případně ten, který už základy má, to pochopí. Ty evidentně ani po vysvětlení principů nikoli, ale musíš se na tom točit a ukazovat svou neznalost a nechápavost. To je v pořádku, chápu, že další debata nemá smysl. Přeju hezký den.
Ono ale nejde o zadnou zkratku. Ta veta(ktera mela asi slouzit k nazorne demonstraci) nedava smysl. Myslel jsem, ze se mi podari skrze jednoduche dotazy("myslis si, ze na kouli existuji rovnobezky?") te dovest k tomu, abys pochopil kde je problem. Ale ty absolutne ignorujes to co pisu. Veta z clanku se da prevest na tvrzeni "Dve rovnobezky na kouli se protnou". To je sice matematicky vzato pravda, ale jen diky tomu, ze dve rovnobezky na kouli neexistuji! >>> Souhlasis? Ano/Ne? <<<Mozna nemas problemy s geometrii, ale s cestinou?
Ne, nesouhlasím. Problém není v češtině, ani s tou skutečně problém nemám. I když mi to nevěříš, vím, na čem se točíš a co ti vadí. Problém je v tom, že odmítáš pochopit matematickou definici.Rovnoběžky na kouli v neeukleidovském prostoru existují, protože to vychází z definice tohoto prostoru. V článku chybí přesná definice tohoto prostoru, to je jediný problém. Ale čtenář si může podrobnosti dohledat, případně si je nechat v diskusi vysvětlit. Tedy pokud o to stojí a netváří se jako génius, který autora načapal na švestkách.
A sdelis mi tu definici rovnobezek na kouli?
Ahá! Ty zaměňuješ geografický a matematický pojem rovnoběžka. Fajn, máš pravdu, že tohle by mne tedy nenapadlo, až takovou "kreativitu" jsem nečekal. Omlouvám se, podcenil jsem tě. Mea culpa.Poledníky jsem použil jen jako ilustraci, nenapadlo mne, že nevíš, že rovnoběžky (geograficky) na globu nejsou přímky (kromě rovníku). Já vím, že tohle je matoucí, název je zvolen nesmyslně, ale geografické rovnoběžky jsou na dané kulové ploše kružnice se středem na pólu. Přímky na této ploše jsou pouze poledníky. Takže geografické rovnoběžky nemohou být nikdy matematickými rovnoběžkami, protože se nejedná o rovnoběžné přímky.Každá přímka na kouli vyznačuje obvod koule. Každá přímka na kouli je stejně dlouhá (koule je specifický typ prostoru, kde přímka není nekonečně dlouhá). Zjednodušeně to lze dokázat třeba takto - jakékoli dva různé body na geografické rovnoběžce lze spojit kratší úsečkou než je úsek na této geografické rovnoběžce. (Není to úplně přesný důkaz, ale smysl je z toho zřejmý.)A jak budou vypadat matematické/geometrické rovnoběžky na kouli? Mějme libovolnou přímku. K ní povedu kolmici a kdekoli na této kolmici mimo původní přímku zkonstruuji znovu kolmici. V běžné rovině tímto postupem získám dvě geometrické rovnoběžky. Souhlas? Na kouli takto zkonstruuji rovnoběžky také, ale ty se mi protnou. Ony z toho na kouli pak plynou ještě zajímavé paradoxy, jako že jakékoli dvě přímky jsou na kouli (kulové ploše) rovnoběžné a že dvě přímky mohou být navzájem kolmé a rovnoběžné současně. Ale to už není podstatné.Doufám, že teď už se mi konečně povedlo vysvětlit, kde ten problém je - to, že se v různých případech použijí stejné pojmy, neznamená, že mají i stejný obsah. A geografické rovnoběžky kromě rovníku nejsou přímky (a tedy ani nemohou být rovnoběžkami v matematickém/geometrickém smyslu).Ale na okraj - tohle jsou fakt úplný základy geometrie. Jestli ti je čtrnáct, tak neznalost chápu, ale jestli máš ukončené aspoň středoškolské vzdělání, fakt bys to vědět měl. Tohle neber jako útok ad hominem, spíš se na ty základy koukni, on se všeobecný rozhled opravdu hodí, i v té geometrii (mimochodem - geometrie není můj obor, neživí mne, od školy jsem ji aktivně nepoužil na to, abych něco rýsoval, jen jsem ji shledal mnohokrát užitečnou v praktickém životě).
!!! Zkus si prosimte precist aspon tento jeden prispevek !!!Dokazal jsi akorat to, ze ABSOLUTNE NECTES NIC Z TOHO CO PISU. Ty: "nenapadlo mne, že nevíš, že rovnoběžky (geograficky) na globu nejsou přímky (kromě rovníku)."Co takhle hned muj prvni(!!!) prispevek, kde jsem psal "na kouli neexistuji rovnobezky(>>>ty cary, ktere mame na globusu vlastne nejsou primky, ale krivky<<<)".Dale muj treti prispevek: "Mozna te mate pojem "rovnobezka", pod kterou si predstavis krivku, ktera je ekvidistantou k hlavni kruznici, ale nejedna se o primku!"Ty: "Ony z toho na kouli pak plynou ještě zajímavé paradoxy, jako že jakékoli dvě přímky jsou na kouli rovnoběžné"Coz jsem mimochodem psal uz ve svem druhem prispevku: "Kdyby existovaly, tak by vsechny primky byly navzajem rovnobezne."Mimochodem odkud mas tu tvou definici rovnobezky na kulovem prostoru? Zajimal by me zdroj. Protoze definice, kterou splnuji jakekoliv dve primky, mi prijde celkem zbytecna.
Uz pujdu spat, tak sem jeste hodim par linku na definice rovnobezek na kouli, abys mel pripadne co studovat."The five axioms for spherical geometry are:.... There are NO parallel lines."http://mathstat.slu.edu/escher/index.php/The_Thre... ... "Fifth Postulate (spherical): Given a line l and a point P not on the line, no lines can be drawn through P which is parallel to l "http://academic.brcc.edu/ryanl/modules/geometry/no... ... "In spherical geometry, there are no parallel lines."http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa11/Frailey/Sphe... ... "In such a geometry, there are no parallel lines. All pairs of great circles intersect somewhere."http://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_04... ... "There are also no parallel lines."http://mathworld.wolfram.com/SphericalGeometry.html... "On the sphere there is no such thing as a parallel line."https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_(geometry)... Ale predpokladam, ze ty to vis lip, kdyz se to uci, dle tvych slov, uz na zacatku gymnazia.
Uz se na toho trolla vy*er. Copak ti to neni uz jen podle nicku jasny?
Tak ja uz nevim jestli se mam smat, nebo brecet. Do ust mi tady vkladaji nesmysly, ale troll jsem ja😀
Hlasuju pro brečení😉. Já tedy Tvá slova pochopit problém zpočátku měl, ale když jsem si dal tu práci, pochopil jsem, a také jsem si okamžitě všiml, že se Ti kolega snaží vysvětlit něco, co evidentně chápeš. Přijde mi legrace, že vynaložil tolik energie na psaní, a přitom tak strašně málo na čtení, z něhož by šlo dobře poznat, že je psaní zbytečné🙂...
Slava 😃 Cele by se to dalo shrnout do sporu o to, zda jsou ci nejsou na kouli definovane rovnobezky. Podle vetsiny definic co jsem nasel nejsou, ale objevil jsem i par publikaci, kde s rovnobezkami na kouli operuji(i kdyz smysl moc nechapu, kdyz pak jsou kazde dve primky rovnobezne). Kazdopadne jsem hledal dal a vetsina zdroju se shoduje ze sfericka geometrie je neeukleidovska predevsim kvuli nesplneni druheho postulatu. Z toho pak vyplyva i nemoznost splneni pateho postulatu. No a dale je problem v tom, ze tech pet postulatu neni dostatecnych pro definici euklidovskeho prostoru, je potreba splneni dalsich predpokladu, ktere na kouli nefunguji.
Pane Tronnere, moc, moc, moc děkuji za Váš další úžasný článek, který opět zvedá laťku místní "žurnalistiky" proklatě vysoko!
Potvrďte prosím přezdívku, kterou jsme náhodně vygenerovali, nebo si zvolte jinou. Zajistí, že váš profil bude unikátní.
Tato přezdívka je už obsazená, zvolte prosím jinou.